DISTRIBUSI DAN PELUANG BINOMIAL

 

03-21

41892

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

 

Istilah:

“Nilai Mutlak” memiliki istilah lain yang sama artinya yaitu “Harga Mutlak” atau "Harga Absolut" atau  “Modulus”.

Notasi :

Notasi nilai mutlak adalah “ | ….. |”

Contoh cara membaca:

1.       |2| dibaca “Nilai mutlak dari 2” atau “Harga mutlak dari 2”

2.       |-7| dibaca “Nilai mutlak dari -7” atau “Harga mutlak dari -7”

3.       | x – 4 | dibaca “Nilai mutlak dari x – 4 “ atau “Harga mutlak dari x – 4 “

Nilai mutlak sesungguhnya adalah terkait dengan “jarak” , yakni sebuah nilai yang selalu membuat sesuatu yang berada di antara notasi “ | ….. |” menjadi positif.

Fungsi nilai mutlak :

Grafiknya :

                                                                                                                                                                   Grafik dibuat dengan aplikasi Geogbra.

Dari grafik tersebut tampak bahwa:

1.    1. |-5| = 5

2.     2. |-4|= 4

3.      3. |0| = 0

4.      4. |3| =3

5.      5. |5| = 5 , dan sebagainya.

Dengan demikian dapat dikembangkan pemahamannya bahwa :

1.      1.  |6 - 9 | = |-3| = 3

2.      2. |12 - 7| = |5| = 5 , dan sebagainya.

  

 Contoh 1:

Sifat : “Untuk a > 0 , jika |x| ≥ a , maka  x ≤ - a atau x ≥ a”

 Jika |x – 6| ≥ 5  maka interval yang memenuhi adalah ….

A.     A. 1 ≤  x  ≤ 11

B.     B. - 11 ≤  x  ≤ - 1

C.     C. x ≤  - 5 atau x ≥ 5

D.    D. x  ≤  1 atau x ≥ 11

E.      E. x ≤  - 1 atau x ≥ 11

 

Jawab:

| x – 6| ≥ 5  →  x – 6 ≤ – 5  atau x – 6 ≥ 5

(i)              x – 6 ≤ – 5 

x ≤ 6 – 5  ……………………perhatikan perpindahan posisi “ – 6 ”   menjadi “6”    

x ≤ 1

(ii)           x – 6 ≥ 5

x ≥ 6 + 5 ......…………………perhatikan perpindahan posisi “ – 6 ”   menjadi “6”          

x ≥ 11

Penyelesaian  x ≤ 1 atau x ≥ 11

Himpunan penyelesaian {x| x ≤ 1 atau x ≥ 11}  → Opsi (D)

 

Contoh 2 :

Sifat : “Untuk a > 0 , jika |x| ≥ a , maka  x ≤ - a atau x ≥ a”

 Jika |4x – 1| ≥ 7  maka interval yang memenuhi adalah ….

 

Contoh 3:

Sifat : “Untuk a > 0 , jika |x| ≤ a , maka  - a ≤ x ≤ a”

Jika  | x + 7| ≤ 12 maka interval x yang memenuhi adalah ….

A.     A. – 5 ≤ x ≤ 5

B.     B. – 19 ≤ x ≤ 

C.     C.  – 12 ≤ x ≤ 12

D.    D.  x ≤ – 19 atau x ≥ 5

E.      E. x ≤ – 5 atau x ≥ 19

 

Jawab :

| x + 7| ≤ 12 →   – 12 ≤ x + 7 ≤ 12

 – 12 ≤ x + 7 ≤ 12   → – 12 – 7 ≤ x ≤ 12 – 7  ……. Perhatikan “–7” berpindah ruas di dua tempat.

               – 12 – 7 ≤ x ≤ 12 – 7                                      

                                     – 19 ≤ x ≤ 5

Penyelesaian  – 19 ≤ x ≤ 5

Himpunan penyelesaian {x| – 19 ≤ x ≤ 5 }  → Opsi (B)

 

 

 

 Untuk pertidaksamaan ingatlah :

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari  2x² + 11 x – 6 ≥ 0

Jawab :

2x² + 11 x – 6 ≥ 0

(2x – 1)(x + 6) ≥ 0

i)       Harga nol

2x – 1 = 0 → x = ½

x + 6 = 0 → x = - 6

 

ii)     Pindahkan x = ½  dan x = - 6 ke dalam garis bilangan

 

 

 iii) Pilih salah satu nilai x (asalkan bukan harga nol), kemudian substitusikan ke model

      (2x – 1)(x + 6) untuk memperoleh tanda hasil “– “ atau “ + “ . Hasilnya pindahkan

      ke garis bilangan. Lengkapi tanda berselang-seling setiap kali melewati batas.

      Pilih x = 0

       Untuk (2x – 1)(x + 6) maka (2(0) – 1)(0 + 6) = (-1)(6) = - 6 (tanda negatif)    

      

 

iv) Memilih daerah

          Karena soal 2x² + 11 x – 6 ≥ 0 (maka pilih daerah ≥ 0 atau yang bertanda “+”)

          Jawab untuk soal :

     2x² + 11 x – 6 ≥ 0  maka penyelesaiannya  x ≤ - 6  atau x ≥ ½ .

 

Contoh 4 :

Tentukan penyelesaian dari |2x + 1| ≥ |x – 3|

 

Jawab :

·        Sifat yang digunakan “Untuk |x| ≥ |a| maka  x² ≥ a² “

 

|2x + 1| ≥ |x – 3| → (2x + 1)²  ≥ (x – 3)²

(2x + 1)² –  (x – 3)² ≥ 0

[(2x + 1) –  (x – 3)].[ (2x + 1) + (x – 3)] ≥ 0

[2x + 1 – x + 3].[ 2x + 1 + x – 3] ≥ 0

[x + 4 ].[ 3x – 2] ≥ 0

i)    Harga nol x = - 4 dan x = 2/3

ii)  Garis bilangan :

     

 

 

 

PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Pertidaksamaan mengandung variabel dan tanda / notasi : >, < , ≥ atau ≤  , sedangkan pada persamaan tanda hubungnya adalah “sama dengan” atau “ =”.

Sifat yang digunakan adalah model fungsi dasar dan sifat ketiga.

 Contoh 5 :

Tentukan penyelesaian dari  | - 3x | - 18 = 0

Jawab:

| - 3x | - 18 = 0

| - 3x | = 18

|-3|.|x| = 18

3.|x| = 18

|x| = 18/3

|x|= 6,

Sehingga  penyelesaiannya x = - 6 atau x = 6

 Contoh 6 :

Tentukan penyelesaian dari  |x – 2|+ 3 = 15

Jawab:

|x – 2|+ 3 = 15

|x – 2| = 15 – 3

|x – 2| = 12

Untuk model ini diperoleh dua buah akibat:

yaitu  x – 2 = – 12 dan x – 2 = 12

(i)                 Untuk x – 2 = – 12 → x = – 10

(ii)               Untuk x – 2 = 12 → x = 14

Sehingga  penyelesaiannya x = – 10 atau x = 14

 

Contoh 7 :

Carilah himpunan penyelesaian dari |x + 1| + 3 = 2x

Jawab :

Cara 1 (Menggunakan yang mirip sifat 3 pada pertidaksamaan)

|x + 1| + 3 = 2x

|x + 1| = 2x – 3  kemudian dikuadratkan kiri dan kanan.

(x + 1)² = (2x – 3)²

(x + 1)² – (2x – 3)² = 0

[(x + 1) –  (2x – 3)]. [(x + 1) +  (2x – 3)]=0

[ x + 1 – 2x + 3].[ x + 1 + 2x – 3] = 0

(– x + 4)(3x – 2) = 0

(i)                 Untuk    – x + 4 = 0 → x = 4

(ii)               Untuk 3x – 2 = 0  → x = 2/3

 Sehingga  penyelesaiannya x = 4 atau x = 2/3

 Cara 2 (mengkuadratkan biasa ruas kiri dan ruas kanan)

|x + 1| + 3 = 2x

|x + 1| = 2x – 3  kemudian dikuadratkan kiri dan kanan.

(x + 1)² = (2x – 3)²

(x + 1)² – (2x – 3)² = 0

x² + 2x + 1 – [4x² – 12x + 9] = 0

x² + 2x + 1 – 4x² + 12x – 9 = 0

– 3x² + 14x – 8 = 0

3x² – 14x + 8 = 0   

kemudian bentuk ini difaktorkan sesuai dengan cara yang dipelajari di SMP/MTs.

(3x – 2)(x – 4) = 0

(i)                 Untuk    3x – 2 =0  → x = 2/3

(ii)               Untuk x – 4 = 0  → x =

 Sehingga  penyelesaiannya x = 4 atau x = 2/3

SELAMAT BELAJAR

                                                                                                                        Majalengka, Maret 2021

41772